Комбінації геометричних тіл: куля та піраміда

VI. Куля та піраміда

  Куля називається описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі.

  Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, описаного  навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра.

   Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі  грані піраміди дотикаються до кулі.

   Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута  при основі піраміди.

Задача 1
 У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом α. Обчисліть об’єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R.

Задача 2

 Плоский кут при вершині правильної  трикутної піраміди дорівнює α. Радіус кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює R. Знайти об’єм описаної кулі.

Задача 3

 В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом α. Всі бічні ребра піраміди  нахилені до площини основи під кутом β. Знайдіть об’єм піраміди , якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R.

Задача 4

 У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює α. Знайдіть площу повної поверхні піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r.

Задача 5

 У правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює β. Знайдіть об’єм  піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r.

Задача 6

 В основі чотирикутної піраміди лежить ромб з тупим кутом β. Всі бічні грані нахилені до площини основи під кутом φ. Знайдіть об’єм піраміди, якщо відстань від центра вписаної кулі до вершини піраміди дорівнює d.

Задача 7

 В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β. Всі бічні грані нахилені до площини основи під кутом α. Знайдіть об’єм піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r.

Використана література:

• Г.М.Литвиненко та ін., "Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту. Частина 2. Геометрія", ВНТЛ, Львів, 1997.
• "Геометрія у таблицях. 10-11 клас", Т.Г.Роєва, Н.Ф.Хроленко, видавнича група "Академія", 2001.