Комбінації геометричних тіл: куля та призма

ІІІ. Куля та призма

   Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона є пряма і її основа є многокутником вписаним в коло. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти призми, яка з’єднує  центри кіл, описаних навколо основ призми.

   Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда, лежить в точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна діагональ паралелепіпеда є діаметром описаної кулі.

  Кулю можна вписати в пряму призму, якщо її основи є многокутниками описаними навколо кола, а висота призми дорівнює діаметру кулі і діаметру цього кола.

    Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить на середині відрізка, який з’єднує центри кіл, вписаних в основи призми. Причому, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписанного в основу призми, а діаметр кулі дорівнює висоті призми.

  Примітка: Якщо в многогранник можна вписати кулю, то об’єм многогранника дорівнює одній третій добутку площі повної поверхні многогранника на радіус вписаної кулі.

Задача 1

   У кулю радіуса R вписано призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник з гострим кутом α. Діагональ бічної грані, яка містить катет, прилеглий до цього кута, утворює з основою кут β. Знайдіть об’єм призми.

       Задача 2

      В основі призми лежить прямокутний трикутник  з катетом b  і протилежним кутом β. Діагональ грані, яка містить цей катет, нахилена до площини основи під кутом φ. Знайдіть площу поверхні описаної сфери.

Задача 3

   У кулю радіуса R вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворюєз меншою бічною граню кут α. Діагональ основи паралелепіпеда  утворює з більшою стороною основи кут β. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Задача 3

   У правильну трикутну призму вписано кулю,  об’єм якої дорівнює 4,5π см³. Знайти об’єм даної призми.

Задача 4

   У правильну чотирикутну призму, діагональ якої дорівнює d, вписано кулю. Обчислити  об’єм даної кулі.

Використана література:

• Г.М.Литвиненко та ін., "Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту. Частина 2. Геометрія", ВНТЛ, Львів, 1997.
• "Геометрія у таблицях. 10-11 клас", Т.Г.Роєва, Н.Ф.Хроленко, видавнича група "Академія", 2001.