Комбінації геометричних тіл: піраміда та конус

ІІ. Піраміда та конус

Теорія:

     Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого -круг, вписаний у много кутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди.

    Конус називається описаним навколо піраміди, якщо його основа - круг, описаний навколо піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, а твірні збігаються з ребрами піраміди.

    Висоти конуса і піраміди збігаються.

    Радіус вписаного в основу піраміди кола (круга) перпендикулярний стороні многокутника, який лежить в основі піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи.

Задача 1

   У  правильній чотирикутній піраміді апофема дорівнює l , а плоский кут при вершині – α. Знайти об’єм конуса, описанного навколо піраміди.

Задача 2

   Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Всі бічні ребра піраміди рівні. Бічна грань піраміди, яка містить основу рівнобедреного трикутника, утворює з площиною основи кут φ. Знайдіть бічну поверхню конуса, описаного навколо піраміди, висота якої дорівнює Н.

Задача 3

   У правильній чотирикутній піраміді відстань від середини висоти піраміди до бічної грані дорівнює d. Знайдіть повну поверхню вписаного в піраміду конуса, твірна якого нахилена до площини основи під кутом α.

Задача 4

   У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює m, а плоский кут при вершині – β.  Знайдіть об’єм конуса, вписаного в піраміду.

Використана література:

• "Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. Геометрія. 11 клас." За ред.З.І.Слєпкань, Харків, "Гімназія", 2002.
• Г.М.Литвиненко та ін., "Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту. Частина 2. Геометрія", ВНТЛ, Львів, 1997.
• "Геометрія у таблицях. 10-11 клас", Т.Г.Роєва, Н.Ф.Хроленко, видавнича група "Академія", 2001.