Комбінації геометричних тіл: куля та конус

V. Куля та конус

 Куля називається вписаною в конус, якщо основа і всі твірні конуса дотикаються кулі.

   Кулю можна вписати в будь-який конус.

   Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, паралельній основі конуса.

   Центр вписаної кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, вписаного в трикутник, який є осьовим перерізом конуса.

  Куля називається описаною навколо конуса, якщо основа конуса є перерізом кулі, а вершина конуса лежить на поверхні кулі.

   Кулю можна описати навколо будь якого конуса.

   Коло основи конуса і вершина конуса лежать на  поверхні кулі.

   Центр описаної кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса.

Задача 1

У конус вписано кулю радіуса r. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом α. Знайдіть об’єм конуса.

Задача 2

Кут між твірною конуса і його висотою дорівнює β. Відстань від центра описаної навколо конуса кулі до основи висоти дорівнює l. Обчислити площу повної поверхні конуса. 

Додаткові задачі:

У конус вписано кулю. Відношення об’ємів конуса і кулі дорівнює 2. Знайдіть відношення площ повної поверхні конуса і кулі.

Використана література:

• Г.М.Литвиненко та ін., "Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту. Частина 2. Геометрія", ВНТЛ, Львів, 1997.
• "Геометрія у таблицях. 10-11 клас", Т.Г.Роєва, Н.Ф.Хроленко, видавнича група "Академія", 2001.